儲蓄型商品或保單的報酬率?什麼又是年化報酬率(Annualized Return)?有何關聯

 

 

 

→儲蓄型商品或保單的報酬率?什麼又是年化報酬率(Annualized Return)?
以中國信託電話行銷為例
內部收益率(Internal Rate of Return, IRR)



常聽到電話行銷或業務專員跟你說:「繳滿幾年期後,就可以領回140%的金額。」
如果以存入一筆金額後,以簡單的複利來計算,價值會是多少?
又以複雜的每年要投進去一筆錢的情況來計算,會是怎樣?

 

 

以銀行定存的複利計算為例

 


現在(2013/11/21),國泰世華銀行的一年期定存利率是1.38%。

 

 

 

定存的概念就是,如果現在定存$10,000進去

 

滿一年未解除定存,即可領到$10,000*(1+1.38%)=$10,138
而1.38%通常也稱為一年期的固定利率

 

 

 

以財金Finance的概念來表示,也就是:PV(Present Value,現在價值),以利率r,定存滿n年後,會有多少FV(Future
Value,未來價值)呢?

 

FV=PV*(1+r)n

 

上面的例子,$10,000以利率1.38%定存20年後的價值,就是

 

 

$10,000*(1+1.38%)20=$13153.6(換言之就是20年後領131.536%)

 

這就是最簡單的複利計算,而年化報酬率(Annualized Return)其實只是倒過來的概念

 

 

 

年化報酬率(Annualized Return)

 

當我告訴你:「你存一筆錢,20年後我給你131%」
那麼,這個數字的年化報酬率(Annualized Return)即是1.38%了。

 

 

 

練習一下,如果今天存一筆款項,對方允諾10年後要給付140%,那利率怎麼算呢?

 


其實用我們最初的公式帶進來,你就知道了:

 

FV=PV*(1+r)n  →  r=(FV/PV)(1/n)-1     (只是移項,應該大家都很厲害)

 


而你也可以很簡單地將這個公式key入excel中,我們就會得到:

 

 

這個0.03422的意思很簡單,就是你的利率是每年3.422%

 

如果是和銀行的1.38%定存利率相比,要高很多吧!這時就知何者投資報酬率較好了。

 


如果是儲蓄型商品或保單...

 

儲蓄型商品就稍微複雜一點點了,因為儲蓄型商品的概念不是一次存一整筆錢,大多是每年存一筆錢x進去,存n年後,會給你固定的報酬率。(如果是所謂的儲蓄型保單,前幾年都會扣所謂的保險費用,所以解約金會少很多是正常的,所以是年期長的儲蓄型商品在規劃時,請一定要想清楚!)

實際舉一個例子好了,如果每年固定存$10,000進去,滿六年後會給你$72,000(六期總投入金額$60,000的120%),這樣每年的固定利率如何算呢?

 

 

 

我們先用簡單的代數觀察一下:假設每年投入的金額是x,每年都以r的利率將利息滾入本金,這樣持續了n年,會得到y不知道怎麼算的,就慢慢從第一年開始看起,很快就會發現到底y怎麼得到了。

 


第一年(初期):x

第二年(滿一年未滿期):xr+x = x(r+1)

第一年剛投入的x,以利率r放了一年,所以我們會得到xr,同時也在存入一筆x,所以總共會有xr+x,簡化後將x提出,就得到x(r+1)了,後面也是一樣的概念在處裡代數式子。
第三年(滿兩年未滿期):x(r+1)r+x = x[(r+1)r+1] =
x(r2+r+1)


好像慢慢有點複雜(?),我相信大家頭腦都很好,其實都是前一年的總金額乘上利率r後,再投入x,就是當年度的總本利和,運算式看似變長變複雜,其實再做一年就會發現之後的式子怎麼跑了(會觀察就好了,不需要會證明這種東西)
第四年(滿三年未滿期):x(r2+r+1)r+x = x[(r2+r+1)r+1] =
x(r3+r2+r+1)


看出來了嗎?第幾年度的總價值,不過就是x乘上r少一年度次方的降冪加總而已,而且1不過就是r0,那寫成代數滿n年又是怎麼回事呢?
第n年(滿n-1年未滿期):可以直接寫成=x(rn-1 + rn-2 +...+r+1)
第n+1年(滿n年已滿期):xr(rn-1 +rn-2 +...+r+1)

我們到第n-1年未滿期的時候,會再投入一次金額x,之後再放一年就滿期了,也就是最後一年只拿到利息的部份,到期後不會再投入金額,所以直接把滿n-1年未滿期的價值乘上r就是最後滿n年已滿期的價值了!

有了上面基本的概念後,我們就可以很簡單用excel實作出來。另外有一點要注意,就是外面保險公司或銀行賣所謂的六年期,其實是存滿六年,也就是第七年時可以拿回多少,這個也要注意喔。

excel處裡的步驟

這個例子,我們就設定每年存$10,000,以銀行定存利率1.0138來看,滿六年會有多少價值呢?

一、將每期投入的金額x和利率r放好,並將年期橫放(是為了處裡r的n-1次方倍)

 

 
 

我們可以看到1.0000該欄的輸入算是為$D$1(利率r)^(C3(滿幾年)-1),這邊是滿第一年,也就是r0=1的部分。算好之後拉左下黑點往旁邊複製公式,就可以算出剩下的了。不過要注意要固定欄位r不要變,所以在點D1的時候,要記得按F4固定,或是直接點公式的D1按F4鍵,不然就是手動輸入了。

二、加總r從n-1次方的降冪總和



 

在r降冪總和下面這欄,直接去點“Σ自動加總”,就會自動將前面的數字加總了,按enter後,會直接得到6.2108這個倍數,也就是第六年(滿五年未滿期)後,會得到x呈上這個總倍數的價值。

三、將每期投入的x乘上利率r,再乘上r的n-1降冪總和,即得到滿n年期的價值

 

 
 

如果我們還想知道更多,像是:



  1. 滿年期後的價值,是原投資價值的幾%(上面其實已經跑出來了)
  2. 每年期真要算每一期的當期價值,要怎麼做?(可以用來比較其他儲蓄商品或保險)
那我們要怎麼做?

附一、滿年期後的價值,是原投資價值的幾%



 
 
%數的欄位,也就是表示滿期價值是原投資總價值的幾%。式子很簡單,就是把最後總價值/(每年存x *
存了幾年)
,只是這邊如果你想要跑出來跟我一樣的形式104.94%(百分比形式),那就右鍵→儲存格格式→百分比→小數兩位
 
 

附二、每年期真要算每一期的當期價值,要怎麼做?

 

 

 

也就是將前一期的價值乘上利率r,再加上每年存的x,如果用這個方法,就不需要得到r的降冪總合,只是要注意是拉到n-1年,再將n-1年的當期價值乘上利率r就可以了 

 

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